Родился Алексей Тимофеевич в 1767 году. В феврале 1782 года зачислен в Морской кадетский корпус. 26 (15) мая 1785 года произведен в чин корабельного гардемарина и направлен на корабли Балтийского флота. 12 (1) мая 1787 года после двух дальних походов произведен в чин мичмана.
Участвовал в переходе эскадры Балтийского флота под командованием контр-адмирала Повалишина из Архангельска, где был построен корабль, в Копенгаген и был произведен в 1788 году в чин лейтенанта. Назначен на строящуюся шебеку «Прозерпина».
Шебека — крупное парусно-гребное судно, получило широкое распространение в Средиземноморье в XVIII в. Шебеки были как военные, так и купеческие. Военные шебеки имели бортовое артиллерийское вооружение, то есть пушки на станках, установленные между банками, и тем отличались от галер, имевших на бортах лишь вертлюги с малокалиберными орудиями. Парусное вооружение большинства средиземноморских шебек состояло из трех мачте косыми парусами. Особенностью шебек было то, что фок-мачта (передняя мачта) ставилась почти у форштевня и несколько наклонно вперед. В отдельных случаях на мачтах шебек были прямые паруса. Впервые русские моряки познакомились с шебеками в Архипелаге в 1770— 1774 гг. В составе русской Средиземноморской эскадры было несколько шебек, из которых особенно прославилась «Забияка». Шебеки ходили под Андреевским флагом, но офицеры и команда были из греков, албанцев и др. Таким образом, они были фактически корсарскими судами. «Прозерпина была построена в Санкт-Петербурге на галерном верфи в 1779 году. Молодой и энергичный лейтенант был назначен ее командиром.
Шла война со Швецией 1788-1790 года.
Командуя шебекой «Прозерпина» участвовал в первом Роченсалмском сражении 24 (13) августа 1789 года, завершившееся победой русского флота в составе отряда под командованием генерал-майора Балле. Южный отряд под командованием генерал-майора И. П. Балле в течение нескольких часов отвлекал на себя основные силы шведов, в то время как с севера пробивались основные силы русского флота под командованием контр-адмирала Ю. П. Литты. Корабли вели огонь, а особые команды матросов и офицеров прорубали проход. Через пять часов проход через Роченсальм был расчищен, и русские ворвались на рейд. Шведы потерпели поражение, потеряв около 40 кораблей, в том числе адмиральский, захваченный в плен, и все транспорты.
3 июля (22 июня) 1790 года участвовал в Выборгском сражении, где шведские шлюпы под командованием подполковника Якоба Тёрнинга атаковали русскую эскадру западнее острова Васикансаари в западной части Бьёркезунда. Блокированные в Выборгском заливе шведские корабли прорывали блокаду. Русские корабли делали все, чтобы прорыв был невозможным. Потери шведского парусного флота в Выборгском сражении составили восемь кораблей, семь из которых сели на мель из-за плохой видимости. В их числе 64-пушечный линейный корабль «Хедвиг Элизабет Шарлотта», капитан которого Йиндрик Юхан Наукхофф продолжал вести огонь по русским фрегатам даже после того, как корабль потерял подвижность; 56-пушечный линейный корабль «Финланд», потерпевший крушение на Сальворской банке; 74-пушечный линейный корабль «Ловиза Ульрика», севший на банку Пассалода (южнее банки Репье); 64-пушечный линейный корабль «Эмгейтен» (швед. Ömheten — «Нежность»), севший на мель на островках Пенсар вынужден сдаться; линейный корабль «Аурорас» (швед. Auroras — «Аврора, три шведских фрегата — в том числе «Ярриславиц» (захваченный ранее у России) — погибли на банке Пассалода. Кроме того, на островках Пенсар потерпели крушение четыре корабля шведской гребной флотилии: «Эренпрёйс», «Пальмшерна», «Экеблад» и «Уппланд», сражавшиеся со вторым заградительным порядком русских судов — в частности, с кораблём «Не тронь меня». Шведский 74-пушечный линейный корабль «София Магдалена» в ходе сражения был захвачен российскими моряками с линейного корабля «Мстислав». В составе экипажа «Мстислава» участвовал в сражении мичман И. Ф. Крузенштерн, которому было дано поручение взять флаг сдавшегося корабля и флаг находившегося на нём шведского контр-адмирала Лилиенфельда. Галеры «Остергётланд», «Нордстьернеорден» и «Даларне» были захвачены русскими при попытке прорвать блокаду, двигаясь вдоль береговой линии залива. Общие потери, понесённые в Выборгском сражении личным составом соединённого шведского флота, оцениваются приблизительно в 7 тысяч убитых, раненых и пленных матросов и солдат. Потери русской стороны составили убитыми, ранеными и пленными до нескольких тысяч человек. Учитывая большой ущерб, нанесённый шведам у Выборга, и их согласие на подписание мирного договора, Екатерина II объявила Выборгское сражение успешным.
Продолжая командовать шебекой «Прозерпина» участвовал 9-10 июля (28-29 июня) во втором Роченсалмском сражении неудачном для России. в проливе Балтийского моря Роченсальм (Руотсинсальми) между островами Котка, Муссало и Кутсало. Шведские военно-морские силы нанесли сокрушительное поражение русскому гребному флоту, что привело к почётному для шведов окончанию практически уже выигранной Россией войны. Второе Роченсальмское сражение явилось последним крупным сражением гребных флотов и крупнейшим в истории сражением на Балтийском море. В сражении, ставшем крупнейшим в истории сражением на Балтийском море, с обеих сторон было задействовано до 500 кораблей (включая транспортные суда, а также корабли, не принимавшие прямого участия в сражении), около 30 000 человек и несколько тысяч корабельных орудий. Вторая битва при Роченсальме стоила российской стороне около 40 % балтийского флота береговой обороны. Потери российской стороны в сражении составили около 7400 (из 18 500) человек убитыми, ранеными или захваченными в плен. Было потоплено, сожжено или взято на абордаж 64 русских корабля, треть из них — 22 боевых корабля, в том числе флагманский корабль Нассау-Зигена «Катарина» — захвачена в качестве трофея. Шведские потери составили 4—6 потопленных кораблей и около 300 человек убитыми и ранеными.
Шебека «Прозерпина» была захвачена шведами и экипаж попал в плен вместе со своим командиром.
После окончания войны Алексей Тимофеевич вернулся в Россию и был назначен командиром отряда малых канонерских лодок. Наград за поражение не дают. Плавал Алексей Тимофеевич с кораблями отряда для производства морских измерений между Ревелем и финским портом Фридрихсгамом.
плавучая батарея «Молния»
В 1794 году, был назначен командовать плавучей батареей «Молния», а немного позднее галиотом «Святой Николай». Но война закончилась и галиот занимался перевозками различных грузов между Кронштадтом, Ригою и Роченсальмом.
Галиот «Святой Николай»
В 1795—1796 годах, командовал госпитальным судном «Меркурий» в составе эскадры вице-адмирала П. И. Ханыкова и крейсировал у британских берегов. В 1796—1797 годах состоял при Роченсальмском порту и командовал катером «Ястреб» в шхерах. В 1798 году крейсировал у мыса Дагерорд (Ристна), а в 1799—1800 годах был в плавании у английских и голландских берегов.
9 (21) января 1803 года произведён в чин капитан-лейтенанта. В 1806 году командуя линейным кораблем «Рафаил» перешёл из Кронштадта на Корфу в состав Архипелагской эскадры русского флота. Участвовал во многих сражениях в Архипелаге.
Линейный корабль «Рафаил»
Участвовал в Дарданельском сражении 23-23 (10-11) мая 1807 года. Затем в Афонском сражении 1 июля (19) июня 1807 года.
За участие в Афонском сражении был награжден орденом «Святой Анны» II степени.
После заключения Тильзитского договора на фрегате «Святая Елена» перешел с эскадрой адмирала Сенявина Д.Н. в Портсмут, где эскадра была блокирован британской эскадрой. А затем по договору с британцами перешел в Портсмут, где корабли эскадры (кроме «Рафаила» и «Ярослава», оставленным для ремонта в Лиссабоне) были сданы британцам. Алексей Быченский Императором был награжден орденом «Святого Георгия» III степени «За 18 морских компаний».
21 (9) сентября 1809 г, экипажи всех оставленных в Британии кораблей прибыли на британских транспортах в Ригу, где сошли на русский берег.
13 (1) марта 1810 года Алексей Быченский произведён в очередной чин капитана 2-го ранга, и назначен командовать 38-м флотским экипажем в Ревеле.
В 1812—1814 годах, командуя кораблем «Память Евстафия» в составе эскадры под командованием адмирала Е. Е. Тета перешел в Ширнесс и участвовал в блокаде французских и голландских берегов. В 1814 году, командуя тем же кораблем участвовал в перевозке гвардейского корпуса из нормандского порта Шербурга в Кронштадт. В следующем году командовал 38-м флотским экипажем в Кронштадте. 19 апреля (1 мая) 1816 года произведен в чин капитана 1-го ранга. В 1816—1817 годах командовал 27-м флотским экипажем в Свеаборге. 7 (19) августа 1818 года назначен капитаном Кронштадтского порта.
В 1821 году пожалован алмазными знаками к ордену Святой Анны II степени, а 14 (26) декабря 1823 года «в воздаяние ревностной и усердной службы» был награждён орденом Святого Владимира IV степени. 30 августа (11 сентября) 1824 года произведен в чин капитан-командора. 6 (18) декабря 1827 года произведен в чин контр-адмирала с назначением командиром 1-й бригады 3-й флотской дивизии. 29 января (10 февраля) 1830 года произведен в чин вице-адмирала с увольнением в отставку.
Судя по дошедшим до нашего времени документам семьи у Алексея Тимофеевича, не было. Проживал в Санкт-Петербурге в доме вдовы старшего брата Филиппа Д.А.Быченской. Умер 29 января 1850 года. Картин Алексея Тимофеевича не осталось.
Написано по матенриалам из Интернета и справочникам Российского парусного флота.